המחשבה האינטואיטיבית המיידית טוענת שאין סיבה להחליף את הבחירה- עדיין אין לך מושג אם בחרת בלמבורגיני המפתה או בעז חסרת התועלת. אינטואיציה מפותחת מעט יותר תעלה את הסברה שהסיכויים שלך לבחור נכון עלו משליש לחצי, אבל בכל זאת לא תעורר את הרצון להחליף את הדלת בה בחרנו.

מבחינה פסיכולוגית- ייתכן שמדובר בהיקשרות לבחירה אותה ביצענו, מבחינה סטטיסטית- הסיכויים לצאת מהמשחק עם מכונית אטרקטיבית יעלו, אם תבצע את ההחלפה. לחשיפת מידע יש ערך. הסיכוי לבחור בדלת הנכונה, מבין שתי הדלתות הנותרות אינו 50%, מכיוון שהדלת שנחשפה בפנינו אינה אקראית. הבעיה הזו מוכרת בשם בעיית מונטי הול, על שם המנחה של התוכנית המפורסמת, שהתנהלה גם מעל מסכי הטלוויזיה הישראלית.

גרף הסיכויים להצליח עם החלפה או בלעדיה (אדום- עם החלפה, כחול- ללא החלפה)

"

את הסיבה לכך שעדיף להחליף את הבחירה, קל להדגים עם בעיה מקבילה, במספר גבוה יותר של חלופות. לדוגמא- חבר שלך מחזיק בידיו חפיסת קלפים, ומציע לך 100 שקל אם תצליח לבחור באס לב אדום. אתה בוחר קלף אחד מבלי להביט בו, ומניח אותו כשפניו לשולחן. לעומתך, החבר שלך מביט בכל הקלפים הנותרים, בוחר קלף אחד והופך אותו כשפניו לשולחן.

עכשיו הוא חושף את הקלפים שלא בחרתם ומראה לך שאין ביניהם את האס לב אדום. הוא מציע לך את האפשרות להחליף את הבחירה שלך, ולבחור בקלף שהוא בחר. הפעם האינטואיציה כבר באותו צד של הסטטיסטיקה- מובן למדי שעדיף לך להחליף את הבחירה הראשונית אחרי חשיפת המידע שביצע החבר.  

נחזור לבעיה המקורית, ונסתכל עליה קצת אחרת[1] : תאר לעצמך, שאחרי שבחרת באחת הדלתות, המנחה מציע לך לנטוש את הבחירה המקורית שלך, ובתמורה הוא יחשוף בפניך את שתי הדלתות הנותרות. ברור שבמקרה כזה הסיכויים לבחור בהצלחה עולים משליש לשני שלישים. למעשה, זה המקרה גם בדוגמא המקורית: מרגע שנחשפה העז מאחורי אחת הדלתות ומבצעים את ההחלפה, הסיכויים לזכות במכונית מתנקזים לדלת הסגורה הנותרת ועולים לשני שלישים.

הדגמות ויזואליות: [2]

וגם:

ואפשר פשוט לנסות, ולראות בעצמכם: [3]

[1]  http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem#refvosSavant2006

[2] http://math.ucr.edu/~jdp/Monty_Hall/Monty_Hall.html

[3] http://www.nytimes.com/2008/04/08/science/08monty.html#